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Esercitazioni di disegno geometrico e geometria descrittiva

Didattica del disegno come metodologia scientifica di rappresentazione
Elaborati grafici e testi esplicativi a cura del prof. Alfredo La Manna

Assonometria con ombre di un cono e di un segmento verticale

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Assonometria con ombre di un cono e di un segmento verticale

Questa particolare esercitazione comprende due parti: la prima consiste nel rappresentare in assonometria il cono, la seconda invece riguarda lo studio delle ombre propria e portata del cono e di un segmento verticale posizionato in modo da proiettare la sua ombra anche sulla superficie del cono medesimo. Per comprendere meglio tutti i passaggi nello svolgimento del disegno ti consiglio di consultare il pdf multipagina scaricabile. A tale file faremo riferimento in queste spiegazioni.
Prima di tutto rappresentiamo il cono nelle proiezioni ortogonali su PO e PV (passo 4/47); nelle stesse proiezioni ortogonali sono stati inclusi anche gli assi assonometrici, in modo da far coincidere l'asse X con la linea di terra mentre gli assi Y e Z coincidono rispettivamente con PO e PV. Le proiezioni ortogonali sono un utile ausilio per facilitare l'individuazione di alcuni punti che ci serviranno per rappresentare correttamente il solido e successivamente le ombre.
Per rappresentare la base del cono in assonometria disegneremo innanzitutto il quadrato all'interno del quale è inscritta la base circolare e costruiamo su un lato di esso il rettangolo di lati r e 2r (passo 9/47); tracciamo il semicerchio di raggio r all'interno di questo rettangolo passante per il punto C. Il centro T della base è stato posizionato tenendo conto delle sue coordinate rilevate dalle proiezioni ortogonali (vedi anche passo 8/47). Suddividiamo i lati del rettangolo usando come misura la metà del raggio (r/2) e colleghiamo i raggi del semicerchio con questi punti sui lati del rettangolo (passo 11/47). Suddividiamo anche i lati del quadrato assonometrico usando sempre come misura di riferimento la metà del raggio (r/2) e tracciamo tutti i raggi dal centro T verso questi punti intermedi sul quadrato assonometrico. Costruiamo quindi le parallele al lato minore del rettangolo passanti per i punti di intersezione tra i raggi ed il semicerchio fino al lato comune del quadrato avente come punto medio il punto C. A partire dagli estremi di queste parallele tracciamo i segmenti paralleli al diametro A-C; dall'intersezione di questi segmenti con il raggio corrispondente troveremo i punti da cui far passare il cerchio assonometrico (vedi passo 17/47 del pdf multipagina), che assumerà quindi la forma di una ellisse.
Sulla verticale passante per il punto T riportiamo l'altezza h del cono, che rileveremo dalle proiezioni ortogonali, in modo da trovare in assonometria il vertice V del cono medesimo. Per poter disegnare in assonometria i bordi del solido, è necessario individuare i due punti di tangenza sul cerchio di base da cui passeranno i due segmenti convergenti verso il vertice V. Possiamo a questo punto immaginare di proiettare sul piano assonometrico XY il vertice V del cono nella stessa direzione dei raggi proiettanti del sistema assonometrico, in modo da individuare V*, che coincide per forza con il vertice V, e rilevarne le coordinate b1 e a1 rispetto agli assi X e Y. Il punto V* può adesso essere rappresentato anche sul piano PO nelle proiezioni ortogonali, usando le stesse coordinate per posizionarlo correttamente (passo 22/47). Possiamo adesso applicare la nota costruzione per trovare le tangenti ad un cerchio passanti per un punto esterno (vedi sez. 1, gruppo 2), in questo caso dal punto V*, sul piano PO delle proiezioni ortogonali, ed individuare così i punti di tangenza K1 e K2; conoscendo inoltre le distanze di essi dai diametri del cerchio, date dalle misure t e d (vedi passo 25/47), possiamo rappresentare gli stessi K1 e K2 anche in assonometria: essi si troveranno ovviamente sul cerchio assonometrico. Basterà a questo punto collegare il vertice V del cono con i punti K1 e K2 per disegnare anche in assonometria i bordi del solido (passo 26/47).
Per lo studio delle ombre, definiamo il il raggio luminoso disegnando la direzione r' e la sua proiezione assonometrica r in rapporto agli assi assonometrici, che per maggior chiarezza sono stati ridisegnati a parte, anche se il sistema è comunque unico. Ricaveremo b1 e b2, che rappresentano le distanze dei punti di intersezione di r' con gli assi X e Y, ed anche l'altezza h1 del punto di intersezione del raggio r con il piano XZ. Conoscendo queste distanze e l'altezza si può rappresentare il raggio anche nelle proiezioni ortogonali (vedi passi 30-31/47). Ribaltando il vertice V sul PO rispetto alla parallela a r' passante per T' e conoscendo l'angolo α troveremo Vo, proiezione di V sul PO secondo la direzione dei raggi proiettanti paralleli al raggio luminoso r (passo 34/47). Allo stesso tempo ricaviamo direttamente Vo anche in assonometria (vedi passo 34/47), con la consueta regola delle parallele a r' e ad r.
La fase successiva consiste nel trovare le rette separatrici sulla superficie del cono che definiscono il limite tra la parte in ombra (propria) e la parte illuminata. Useremo ancora una volta le proiezioni ortogonali per individuare sulla base circolare del solido i punti K3 e K4, applicando la costruzione già vista per la ricerca della tangenti ad un cerchio per un punto esterno, in questo caso il punto Vo. Da questi punti passano proprio le due rette separatrici che stiamo cercando. K3 e K4 possono facilmente essere riportati anche nella rappresentazione assonometrica, ricavando le distanze l1, l2, l3 ed l4. In tal modo è possibile rappresentare in assonometria le due rette separatrici, passanti per il vertice V e i punti K3 e K4 ed anche i due segmenti convergenti in Vo e passanti per gli stessi punti alla base del solido, che determinano i bordi dell’ombra sul piano assonometrico XY (passo 38/47).
Disegniamo adesso anche il segmento verticale accanto al cono, trovando innanzitutto Ro, ombra dell’estremo superiore R (passo 41/47). Scegliamo a piacere alcuni punti sul cerchio assonometrico, posizionandoli tra l'intersezione della parallela a r' con il cerchio di base e il punto K3 da cui passa una delle separatrici, in questo caso i punti 1, 2, 3 e 4. Tracciato il primo raggio passante dal centro T e il punto 1, eleviamo la verticale dall'intersezione tra il suddetto raggio con la parallela a r' passante per l'estremo inferiore del segmento fino ad intersecare la congiungente tra il vertice V e il punto 1, individuando in questo modo il punto 1', che appartiene proprio all'ombra del segmento portata dalla superficie del cono. Analogamente troveremo i punti 2', 3', 4' e 5', quest'ultimo appartenente anche alla separatrice (passo 46/47). Come si può vedere nel disegno, l'ombra del segmento portata dal cono assume l'andamento di una curva che si interrompe nel punto 5' dove inizia l'ombra propria del solido.