La scienza del disegno

Esercitazioni di disegno geometrico e geometria descrittiva

Didattica del disegno per la scuole superiori a cura del Prof. Alfredo La Manna

Proiezioni centrali di un cubo

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Proiezioni centrali di un cubo

Le proiezioni centrali non differiscono dal punto di vista del risultato rispetto alla prospettiva, ma vi sono delle differenze per quanto riguarda il metodo e il procedimento. Anche nella prospettiva vi è un centro di proiezione proprio e un quadro di proiezione principale, ma a differenza delle proiezioni centrali la prospettiva viene definita come un sistema all'interno del quale ricorrono sempre alcuni elementi codificati, come il piano geometrale, il quadro prospettico (che può essere inclinato o verticale) il punto principale, la linea di terra e d'orizzonte, etc.
Nelle proiezioni centrali, a parte il centro di proiezione e il quadro o piano di proiezione principale, tutti gli altri elementi sono generici, come piani, rette, punti, etc. Inoltre nelle proiezioni centrali non vi sono metodi o ausili particolari come nella prospettiva, dove ad esempio viene utilizzato il metodo del disegno preparatorio; esiste solo un metodo unico e generale, basato fondamentalmente sulle leggi principali che regolano la perpendicolarità, l'appartenenza e le metodologie legate all'omologia ribaltamento. Tutto il disegno viene quindi svolto direttamente sul quadro di proiezione.
Nel caso che viene qui esaminato, si tratta di rappresentare col metodo delle proiezioni centrali un cubo di spigolo generico con una delle facce appartenente ad un piano α, anche esso generico e inclinato rispetto al quadro di proiezione. Si comincia con la rappresentazione del “cerchio di distanza”, il cui raggio è uguale alla distanza “d” del centro C dal quadro, e del piano α attraverso il disegno delle sue tα e fα. Ti consiglio di seguire tutto il procedimento mediante la consultazione del file pdf multipagina scaricabile; a tale file si farà riferimento in questa spiegazione.
Disegniamo quindi sul quadro la faccia del cubo che appartiene al piano α, dopo che essa è stata ribaltata sul quadro immaginando di far ruotare tale faccia insieme al piano che la contiene attorno alla sua traccia tα (passo 5/28). Si individui adesso un piano γ proiettante (passante per il centro C) perpendicolare al piano α e ribaltiamo sul quadro il centro C in modo da fargli compiere un movimento di rotazione attorno alla fα descrivendo una traiettoria contenuta sempre nel piano γ; per far ciò consideriamo il punto P come centro da cui tracciare l'arco di raggio (C)-P fino ad intersecare tγ≡ fγ ed individuare così (C) ribaltato rispetto alla fα (passo 8/28).
Tracciando da ( C) ribaltato rispetto al piano α la parallela alla retta r ribaltata sul quadro e passante per i vertici (A) e (B) della base, troveremo la fuga Fr sulla fα; basterà collegare Tr con Fr per disegnare la retta r' in proiezione (passo 10/28). Allo stesso modo troveremo la fuga delle rette s e t, anch'esse passanti per gli altri vertici della base del cubo ribaltata sul quadro e collegando le loro tracce con tale fuga individueremo i vertici A' e B' della base in proiezione (passo 12/28).
Sfruttando l'omologia di ribaltamento con asse dell'omologia coincidente con tα e centro in (C) ribaltato rispetto al piano α, individueremo il vertice E' in proiezione come intersezione tra s' (retta passante per Ts e Fs,t) e la congiungente tra (E) e il centro (C) anzidetto. Collegando E' con Fr sarà possibile individuare anche il rimanente vertice D' della base in proiezione (passo 14/28).
Trovata la F1, fuga di tutte le rette ortogonali al piano α sulla normale alla congiungente ( C)-P, ove in questo caso si considera il centro C ribaltato sul cerchio di distanza, in corrispondenza della sua intersezione con la tγ, potremo disegnare fuga e traccia di un piano δ che risulta ortogonale al piano α (fδ è passante per F1) e contiene anche la retta t, perché Tt appartiene alla tδ e Ft appartiene alla fδ (passo 16/28). Si consideri adesso il piano β proiettante e ortogonale al piano δ (con tβ≡fβ) e ribaltiamo il centro C rispetto al piano δ: troveremo (C) sulla tβ≡fβ (passo 20/28). Tracciamo la retta n' ortogonale al piano α (la sua fuga coincide con F1) e passante per B', essa intersecherà tδ determinando la sua traccia Tn. Dalla Tn è ora possibile disegnare la parallela alla congiungente ( C→ fδ)-F1 che rappresenta la retta n ribaltata sul quadro. Si viene così a determinare una seconda omologia di ribaltamento, con asse coincidente con tδ e centro dell'omologia coincidente con ( C)→fδ, ovvero C ribaltato rispetto al piano δ (passo 22/28). Sfruttando anche questa volta le note proprietà dell'omolgia piana, secondo cui punti corrispondenti sono allineati col centro e rette corrispondenti si incontrano sull'asse, possiamo individuare sulla (n) il vertice (B), ovvero B ribaltato corrispondente di B' (passo 23/28). Individuando sulla (n) il segmento di vertici (B) ed (F), con estensione uguale allo spigolo in vera grandezza del cubo (l=h) e tracciando la congiungente (F)-( C)→fδ troveremo per intersezione con n' il vertice F', che rappresenta uno dei vertici della faccia superiore del cubo in proiezione (passo 25/28). Sfruttando gli opportuni collegamenti con le fughe Fr e Fs,t è abbastanza facile determinare anche le proiezioni degli altri vertici della faccia superiore del cubo (vedi dal passo 26/28 al passo 28/28) e completare così il disegno del cubo in proiezione centrale.