Proiezioni ortogonali con ombre di una sfera

Ho sempre pensato che la rappresentazione in proiezione ortogonale di una sfera con lo studio delle ombre che si formano sulla sua superficie (ombra propria) e quelle che proietta sui piani principali di proiezione (Po e PV), quando essa vienne illuminata da un fascio di raggi paralleli provenienti da un sorgente all’infinito da una determinata direzione, fosse uno dei problemi di rappresentazione più interessanti della geometria descrittiva. È arriviato finalmente il momento (forse anche con ritardo) di trattare nel mio sito questo problema e di condividerlo con piacere con tutti coloro che vorranno seguirlo.
Prima di cominciare con le spiegazioni, consiglio di seguire contemporaneamente alla lettura di questo testo anche le immagini del pdf multipagina che potete scaricare dal link presente nella finestra del disegno, in modo da seguire tutto il procedimento in sequenza, dall’inizio alla fine.
Dobbiamo innanzitutto definire la direzione di tutto il fascio di raggi s paralleli che provengono da una sorgente impropria posta all’infinito; basta dunque considerare un singolo raggio, definito con notazione “s” e rappresentarlo nelle proiezioni s′ ed s″. Assumiamo all’inizio che queste proiezioni di s risultino inclinate di 45° rispetto alla linea di terra LT. Si tratta di una convenzione molto comune nella teoria della ombre. Da qui scaturisce una prima importante considerazione: non bisogna confondere l’inclinazione di 45° con la vera inclinazione di r rispetto ai due piani principali di proiezione PO e PV. Se infatti si prende in consideraione un punto A appartenente al raggio s, con le sue proiezioni A′ e A″, la distanza b di queste proiezioni rispetto alla LT è uguale e ci consente di ribaltare il raggio s sui due piani PO e PV (step 3/29 del pdf multipagina). L’angolo α che si ottiene dopo il ribaltamento risulta diverso da 45° (poco più di 35°) e rappresenta la vera inclinazione (angolo di incidenza) di s rispetto ai due piani principali di proiezione summenzionati PO e PV; quest’angolo inoltre ci sarà molto utile nelle operazioni di ribaltamento che saranno necessarie più avanti nello sviluppo del problema.
Nello studio delle ombre di una sfera la prima operazione da fare è quella di individuare l’ombra propria, ovvero la parte di superficie della sfera che non viene investita dal fasci di raggi paralleli s. Per fare questo dobbiamo trovare il cosiddetto cerchio diametrale separatore d’ombra, ovvero un cerchio che appartiene alla superficie della sfera e che suddivide quella parte di essa illuminata da quella in ombra. Questo particolare cerchio sarà formato da tutti i punti di tangenza dei raggi s paralleli che sono radenti alla superficie della sfera medesima. Questo vuol dire anche che tale cerchio deve appartenere ad un piano passante per il centro della sfera ed essere anche perpendicolare alla direzione dei raggi paralleli s.
Conviene pertanto utilizzare un piano di profilo β perpendicolare a PO (step 5/29) sul quale proietteremo il cerchio diametrale di centro C e parallelo al medesimo β, il cui diametro orizzontale ha estremi D, E. Ribaltando tale piano su PO con rotazione attorno alla prima traccia t′ β ritroveremo anche il suddetto cerchio diametrale ribaltato.
Possiamo adesso rappresentare anche un raggio ribaltato (s), come precedentemente descritto, dato che esso dovrà formare con il diametro ribaltato di estremi (D), (E), un angolo α (step 7/29). Tracciando la perpendicolare ad (s) passante per il centro (C) ribaltato della sfera, saremo in grado di individuare anche gli estremi (H) ed (L) che sono proprio i punti di tangenza dei raggi s sul cer­chio diametrale separatore d’ombra ribaltati su PO (step 8/29). Tracciando le parallele a (t″β) da questi due punti fino ad intersecare il diametro orizzontale in prima proiezione di estremi D′, E′, potremo rappresentare i due punti di tangenza in prima proiezione H′ e L′. Il cerchio diametrale separatore d’ombra avrà dunque come diametri gli estremi suddetti H ed L ed anche gli estremi del diametro orizzontale P e Q.
Risulta adesso possibile rappresentare in prima proiezione tale cerchio separatore utilizzarando la prima proiezione di questi punti H′, L′ ed anche P′, Q′. Dato che soltanto il diametro di estremi P′,Q′, risulta in vera grandezza, mentre l’altro diametro H′,L′ risulta in scorcio parziale quando proiettato si PO, la prima proiezione del cerchio diametrale separatore d’ombra si trasformerà in una ellisse con asse maggiore P′Q′ e minore H′L′(step 9/29). Trovo personalmente molto conveniente, più preciso ed elegante rappresentare in proiezione parallela un cerchio non parallelo ai piani principali PO e PV utilizzando opportunamente le proiezioni dei quattro punti diametrali che sono anche gli estremi dei due assi dell’ellisse che rappresenta il cerchio in proiezione scorciata. Può essere meno intuitivo individuare gli estremi dei due assi e talvolta è necessario seguire un preciso ragionamento per la loro individuazione, ma una volta trovati il disegno della ellisse risulta sempre più facile e preciso, in particolare quando si utilizza un propramma CAD per il disegno. Se invece si procede per punti, che è il metodo più utilizzato, l’ellisse ottenuta sarà necessariamente approssimata.
Un procedimento analogo può essere applicato anche per rappresentare il cerchio diametrale separatore d’ombra in seconda proiezione. Se consideriamo infatti la seconda proiezione di uno dei raggi s (s″) passante per il centro della sfera C″, uno dei due diametri del cerchio separatore d’ombra, i cui estremi sono R″ e K″, dovrà essere perpendicolare ad s″, perchè questo diametro deve appartenere ad un piano perpendicolare al fascio di raggi s (step 10/29). Il suddetto diametro sarà inoltre anche l’asse maggiore dell’ellisse che stiamo cercando e che rappresenta la seconda proiezione del medesimo cerchio diametrale separatore d’ombra in scorcio parziale su PV. Per individuare gli estremi dell’asse minore di tale ellisse, basta considerare il piano γ (leggasi gamma) proiettante e perpendicolare a PV passante per il centro C″ della sfera; esso dovrà contenere gli estremi che stiamo cercando ed anche il raggio s passante per C in seconda proiezione. Se immaginiamo di ribaltare, ovvero di ruotare di 90° questo piano rispetto ad un asse t″ parallelo a PV e passante per C, potremo individuare gli estremi ribaltati (Z) e (V) dell’asse minore dell’ellisse che stiamo cercando, perché tale asse minore, quando ribaltato, deve essere in vera grandezza ed inoltre perpendicolare a (s), raggio ribaltato insieme a γ (step 11/29).
Facendo ruotare γ in senso inverso sempre di 90°, esso si troverà di nuovo nella posizione iniziale, tornando ad essere un piano proiettante perpendicolare a PV e dopo questa rotazione (raddrizzamento), il diametro ribaltato di estremi Z e V sarà adesso in scorcio parziale con estremi Z″ e V″ su tale piano proiettante. Pertanto tali estremi in seconda proiezione sono anche gli estremi dell’asse minore dell’ellisse che stiamo cercando e che, come già osservato, rappresenta l’altro diametro del cerchio separatore d’ombra in proiezione parallela e in scorcio parziale su PV (step 12 e 13/29).
Potremo adesso trovare l’ombra che la sfera proietta sui due piani principali PO e PV. Data la particolare posizione della sfera rispetto ai suddetti piani, l’ombra si spezzerà in due parti, di cui una ricadente sul piano orizzontale PO e l’altra su quello verticale PV. I contorni dei due rami d’ombra saranno di forma ellittica, poiché stiamo in sostanza proiettando il cerchio diametrale separatore d’ombra sui suddetti piani principali e pertanto la proiezione (parallela) di un cerchio su piani non paralleli al piano che contiene il cerchio medesino si trasforma sempre in una ellisse.
Il procedimento consiste nell’individuare gli estremi degli assi minore e maggiore delle due ellissi che stiamo cercando. Due estremi devono necessariamente essere i punti H′ ed L′ in prima proiezione (step 14/29) che potremo facilmente individuare anche in seconda proiezione facendo uso del piano ausiliare di profilo β nei punti H″ e L″. Si può osservare che essi, non solo apppartengono ovviamente al cerchio diametrale separatore d’ombra, ma sono anche i punti del diametro rispettivamente il più vicino (H) ed il più distante (L) rispetto al piano principale PO e per questo motivo sono certamente gli estremi dell’asse maggiore della ellisse che si formerà su PO come proiezione del cerchio diametrale separatore.
Con un procedimento analogo individueremo anche i vertici V e Z in prima proiezione nei punti V′ e Z′ (in seconda proiezione erano già stati trovati), essendo questi gli estremi dell’asse maggiore della ellisse che si formerà su PV proiettando su di esso il cerchio separatore nella direzione dei raggi paralleli s. Infatti anche questi soddisfano la condizione di essere rispettivamente il più vicino (Z) e il più lontano (V) dal piano principale PV (step 15 e 16/29). Troviamo adesso i vertici P e Q del diametro orizzontale (parallelo a PO) anche in seconda proiezione su PV, ovvero P″ e Q″, essendo questi i vertici dell’asse minore della ellisse che si formerà su PO dopo aver proiettato su di esso il suddetto cerchio separatore. Basterà tracciare le due verticali da P′ e Q′ fino ad intersecare l’orizzontale per il centro C″ della sfera in seconda proiezione. Gli ultimi due vertici che ci servono sono gli etremi R e K che individuaremo anche in prima proiezione nei punti R′ e K′ facendo uso del piano ausiliario di profilo β (step 19/29). Si noti che essi appartengono ad un diametro del cerchio separatore che risulta parallelo a PV e che pertanto potranno essere utilizzati per trovare l’asse minore della ellisse che si formerà su PV dopo aver proiettato su di esso il cerchio separatore d’ombra nella direzione dei raggi s.
Possiamo adesso procedere nella individuazione delle ombre di tali vertici: con il consueto procedimento per trovare le ombre di un punto sui piani principali PO e PV, con le parallele (a 45°) alle proiezioni s′ ed s″ dei raggi s, troveremo facilmente Ho, Lo e Po, Qo, ombre dei vertici rispettivamente degli assi maggiore e minore della ellisse come proiezione del cerchio diametrale separatore d’ombra su PO (step 24/29). Analogamente individueremo i vertici Zv, Vv e Kv, Rv, quali vertici degli assi rispettivamente maggiore e minore dell’ellisse che si formerà su PV dopo aver proiettato su di esso il medesimo cerchio separatore nella direzione dei raggi s (step 27/29).
Come si può notare dal disegno, le due ellissi si incontrano esattamente sulla linea di terra LT; pertanto potremo evidenziare le parti delle due coniche che si formano nel primo diedro formato dai due piani principali PO e PV che si intersecano ortogonalmente (step finale 29/29).